Tugas ke-4 Softskill Pengantar Statistika

Distribusi Peluang Kontinu
A.   Pengertian Distribusi Peluang Kontinu

Distribusi peluang kontinu adalah peubah acak yang dapat memperoleh semua nilai pada skala kontinu. Ruang sampel kontinu adalah bila ruang sampel mengandung titik sampel yang tak terhingga banyaknya. Syarat dari distribusi kontinu adalah apabila fungsi f(x) adalah fungsi padat peluang peubah acak kontinu X yang didefinisikan di atas himpunan semua bilangan riil R bila:

1.  F(x) ≥ 0 untuk semua x є R

∞

2.   ∫     𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 1

∞

∞

3.      𝑃(𝑎 < 𝑋 < 𝑏) =  ∫           𝑓(𝑥)𝑑𝑥

∞

B.    Konsep dan Teorema Distribusi

1. Distribusi Normal

Distribusi Normal (Gaussian) mungkin merupakan distribusi probabilitas yang
paling penting baik dalam teori maupun aplikasi statistik. Distribusi ini paling banyak
digunakan sebagai model bagi data riil di berbagai bidang yang meliputi antara lain
karakteristik fisik makhluk hidup (berat, tinggi badan manusia, hewan, dll). Terdapat
empat alasan mengapa distribusi normal menjadi distribusi yang paling penting :

a. Distribusi normal terjadi secara alamiah.

b. Beberapa variabel acak yang tidak terdistribusi secara normal dapat dengan mudah
     ditransformasi menjadi suatu distribusi variabel acak yang normal.

c. Banyak hasil dan teknik analisis yang berguna dalam pekerjaan statistik hanya bisa
     berfungsi dengan benar jika model distribusinya merupakan distribusi normal.

d. Ada beberapa variabel acak yang tidak menunjukkan distribusi normal pada
     populasinya, namun distribusi dari rata-rata sampel yang diambil secara random

dari populasi tersebut ternyata menunjukkan distribusi normal.

Distribusi Normal disebut juga Gausian distribution adalah salah satu fungsi distribusi peluang berbentuk lonceng seperti gambar berikut. 

Berdasarkan gambar di atas, distribusi Normal akan memiliki beberapa ciri diantaranya: 

a. Kurvanya berbentuk garis lengkung yang halus dan berbentuk seperti genta.  

b. Simetris terhadap rataan (mean). 

c. Kedua ekor/ ujungnya semakin mendekati sumbu absisnya tetapi tidak Pernah                  memotong.  

d. Jarak titik belok kurva tersebut dengan sumbu simetrisnya sama dengan σ 

e. Luas daerah di bawah lengkungan kurva tersebut dari - ~ sampai + ~ sama dengan                 1 atau 100 %.

          

    2. Distribusi Chi-Kuadrat (𝝌^𝟐)

Distribusi chi-kuadrat merupakan distribusi yang banyak digunakan dalam sejumlah  prosedur  statistik  inferensial.  Distribusi  chi-kuadrat  merupakan  kasus khusus dari distribusi gamma dengan faktor bentuk 𝛼 = 𝑣/2, dimana v adalah bilangan bulat positif dan faktor skala 𝛽 = 2.

Jika variabel acak kontinu X memiliki distribusi chi-kudrat dengan parameter v, maka fungsi kepadatan probabilitas dari X adalah :

Parameter n disebut angka derajat kebebasan (degree of freedom/df) dari X. Sedangkan fungsi distribusi kumulatif chi-kuadrat adalah :

Berikut  ini  diberikan  rumusan  beberapa  ukuran  statistik  deskriptif  untuk distribusi chi-kuadrat

3. Distribusi F

        Menurut Gasperz (1989:251), secara teori sebaran F merupakan rasio dari dua sebaran chi kuadrat yang bebas. Oleh karena itu peubah acak F diberikan sebagai:

                                                                                 

  𝑋₂ =  𝑛𝑖𝑙𝑎𝑖 𝑑𝑎𝑟𝑖 𝑠𝑒𝑏𝑎𝑟𝑎𝑛 𝑐ℎ𝑖 𝑘𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑡 𝑑𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑑𝑒𝑟𝑎𝑗𝑎𝑡 𝑏𝑒𝑏𝑎𝑠 𝑉₁ = 𝑛₁ െ 1  
 𝑋₂ =  𝑛𝑖𝑙𝑎𝑖 𝑑𝑎𝑟𝑖 𝑠𝑒𝑏𝑎𝑟𝑎𝑛 𝑐ℎ𝑖 𝑘𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑡 𝑑𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑑𝑒𝑟𝑎𝑗𝑎𝑡 𝑏𝑒𝑏𝑎𝑠 𝑉₂ = 𝑛₂ െ 1 Oleh  karena itu      sebaran F  mempunyai dua derajat bebas yaitu 𝑉₁ 𝑑𝑎𝑛 𝑉₂.

Misal :

Kita ingin mengetahui nilai F dengan derajat bebas 𝑉₁ = 10 dan 𝑉₂ = 12, maka jika 𝛼 = 0,05 dari tabel F diperoleh nilai 𝐹_{0,05 (10,12)} = 2,75 

Cara Menggunakan Tabel Z

Tabel Z sebenarnya digunakan untuk memudahkan sobat dalam menghitung peluang (kerapatan probablitas) dari  distribusi normal. Rumus fungsi kerapatan probabilitas dari distribusi normal adalah

Dimana μ adalah rata-rata, σ adalah standar deviasi dan π = 3,14159. Grafik fungsi distribusi normalnya sendiri seperti di bawah ini

Grafik fungsi distribusi normal tersebut di atas membentang dari minus tak hingga hingga tak hingga. Hanya saja, semakin jauh dengan rata-rata (M1), nilai probabilitas akan semakin mendekati nol. Mungkin kalau sobat hanya menghitung nilai probabilitas dari suatu angka/titik mungkin ngga begitu susah, tinggal dimasukkan ke rumus (susah juga sih)

Nah susahnya sobat, misal sobat menghitung probabilitas dari suatu range. Misal saja kita pakai contoh soal distribusi normal berikut

Rata-rata produktivitas padi di Aceh tahun 2009 adalah 6 ton per ha, dengan simpangan baku (s) 0,9 ton.  Jika luas sawah di Aceh 100.000 ha dan produktivitas padi berdistribusi normal (data tentatif), tentukan. Berapa luas sawah yang produktivitasnya lebih dari 8  ton? Sobat bisa saja ko pakai rumus berikut

Super njlimet kan kalau harus ngitung integral kaya gitu. Disinilah gunanya tabel Z. Kita hitung dulu nilai z dari soal di atas dengan rumus

Setelah itu tinggal kita gunakan tabel Z untuk menentukan probabilitasnya. Cara menggunakan tabel Z nya sebagai berikut

1. Caranya buka Tabel Z dan lihat  sel pada perpotongan baris 2,20 dan kolom 0,02.
2.  Sobat akan menemukan sebuah angka yaitu 0,98679 dan bila dijadikan persen menjadi 98,679%.
3. Angka yang sobat temukan di tabel z tersebut menunjukkan  luas di bawah kurva normal baku dari titik 2,22 ke kiri kurva yaitu 98,679%. Karena luas seluruh di bawah kurva normal adalah 100%, maka luas dari titik 2,22 ke kanan kurva adalah 100% – 98,679% = 1,321% (arsir warna hitam pada gambar).  Oleh karena itu, luas sawah yang produktivitasnya lebih dari 8 ton adalah 1,321%, yaitu (1,321/100) x 100.000 ha = 1321 ha

Penggunaan Tabel t

Struktur tabel t yang umum adalah sebagai berikut

 

Judul masing-masing kolom mulai dari kolom kedua (angka yang dicetak tebal) dari tabel tersebut adalah nilai probabilita (tingkat/taraf signifikansi). Nilai yang lebih kecil 

menunjukkan probabilita satu arah (satu sisi) sedangkan nilai yang lebih besar menunjukkanprobabilita kedua arah (dua sisi). Misalnya pada kolom kedua, angka 0,25 adalah probabilita satu arah sedangkan 0,50 adalah probabilita dua arah. 

Selanjutnya, judul masing-masing baris adalah derajat bebas (db) atau degree of freedom (df).   Seperti terlihat pada gambar diatas yang dimulai dari angka 1, dan biasanya pada buku-buku

statistik/ekonometrik sampai angka 200

Penggunaan tabel F
DERAJAT KEBEBASAN (DEGREE OF FREEDOM )

Derajat kebebasan mempunyai dua makna yang berbeda. Dalam kaitannya dengan 

distribusi statistic untuk memberikan nama dari salah satu parameternya. Dalam kaitannya dengan kecocokan model, derajat kebebasan menunjuk pada jumlah informasi yang independen yang ada digunakan untuk membuat estimasi terhadap informasi yang lain. Umumnya kita memulai jumlah derajat kebebasan dengan data. Semakin suatu prosedur atau model cocok,maka jumlah derajat kebebasan semakin kecil.Penghitungan derajat kebebasan dilakukan melalui ukuran sampel. Derajat kebebasan merupakan pengukuran jumlah informasi dari data sample yang telah digunakan. Setiap penghitungan statistik dilakukan dari suatu sampel tertentu maka satu derajat kebebasan digunakan. Setiap rumus dalam SPSS cara menghitung derajat kebebasan (DF /Degree of Freedom) berbeda, misalnya dalam Chi Square untuk menghitung DF digunakan rumus (C-1) x (R-1); sedang ntuk uji t sampel bebas untuk menghitung DF digunakan rumus n-2; untuk uji t sampel berpasangan untuk menghitung DF digunakan rumus n-1 dstnya

http://rumushitung.com/2013/01/23/tabel-t-dan-cara-menggunakannya/

www.stasistikadasar.com